​ 在工程应用和科学研究中，经常要研究变量之间的关系$y=f(x)$。但对于函数$f(x)$，常常得不到一个具体的解析表达式，它可能是通过观测或实验得到的一组数据$(x,f(x))$，$x$为一向量;或则是解析表达式非常复杂，不便于计算和使用。因此我们需要寻找一个计算比较简单的函数$S(x)$近似代替$f(x)$，并使得$S(x)=f(x)$，这种方法就称为插值法。

常用的插值法有：

​ 一维插值法：拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值、埃尔米特插值、样条插值。

​ 二维插值法：双线性插值、双二次插值。

误差的来源

• 模型误差：数学模型与实际问题之间的误差
• 观测误差：测量数据与实际数据的误差
• 方法误差：数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差：例如
• 舍入误差：对数据进行四舍五入后产生的误差

2014年已过去两星期，有写年度总结的必要了。今天特意看了看去年1月5日写的2013年度总结，看看都有些什么变化。我发现每年作一次总结是很有必要的，无赖恰逢考试周，连元旦都不能好好过，更不用说写写文章了。

这一年是转折的一年：从本科变成了研究生，从学长又退化成学弟了，从新校区来到了老校区，送走了四年的老同学，也引来了新同学。时间都去哪了呢？

上半年,每天和鬼王、普哥去实验室学习点新技能，其实际目的是去实验室免费使用校园网，20G流量3人用其实很多了，奈何普哥每次都在线看新闻，每月底流量就不够了。每周还要抽出一天时间看个论文，用Matlab仿真，然后交个周报，晚上和学姐他们宿舍或普哥宿舍玩游戏。接着就是毕设，接着就是吃饭照毕业照，接着就是授位仪式，有幸能得到郑校长的亲自授位，接着就是各奔东西……。宿舍的小伙伴们去了天南地北，想想有机会写篇文章纪念纪念，记得舸哥临走前一晚还熬夜给我们宿舍每个人写了一份信，我至今仍好好保存着。

暑假也是在学校，没有回家。七月底到八月初的时候，用了大概半个月的时间写了个查词典的软件。本来想加入背单词及代码优化的，导师便来召唤我去帮他做项目了。接着下学期基本上就是在上课和这个项目上弄着，没想到研究所课也这么多，每天晚上都有。这期间也看了看部分线性代数的公开课，也写了一个3D迷宫游戏，好吧，算不上游戏，想想我们本科时候教线代的老师就知道为什么要重看线代了。基本上每个月去趟新校区看看学姐（注：学姐，男，湖北洪湖人氏，不知始何名，勤奋好学，故谓之曰学姐云。反正学姐不上qq,哈哈）。双十一的时候，买了几本书，基本上也没咋看……。十二月下旬的时候，完成导师指定的任务后，就临时抱佛脚的开始了复习考试。

2014总评

作家格拉德威尔指出：只要经过1万小时的锤炼，任何人都能从平凡变成超凡。我想，写过一万行代码也算得上编程入门了。2013年度总结中提到要学习一下界面编程，这一点应该来说是实现了。仔细算来，用qt写的程序也超过一万行了吧，也算是入门了吧；提及到要坚持锻炼，这一点没做到，只是在暑假的时候每天去跑步，之后就懒散了；提及到要多上自习，这一点也没有做到，基本上下课后就是去实验室帮导师干活；提及要继续写作，从上学期到目前为止，已经写了恰好九九八十一篇文章了，每个月都写，从未间断。总体评价，一半一半吧。

2015计划

• 注重理论学习，高中物理老师说的好：最主要的思想！要厚积薄发！
• 每天都去自习室里看点书，少看点电视，少玩游戏；
• 坚持跑步，为了那可能的车行；(西安周围50公里都基本骑过，最远从西安骑到延安—20200901)
• 少干点编程的活，跟着导师学点International Research的能力；
• 学好数学，这真的很重要！在这一年里，把具体数学看完，组合数学也要继续；
• 完成基础的机器学习算法的理论学习，并且用代码实现十种左右的机器学习算法；(这么多年过去了，终于完成了! —20200901)
• 重拾Matlab编程，学习Matlab在数学中的计算；
• 花心思写一点高质量的文章，写了这么多感觉没有几篇是花了很大心思的，都是在一两个小时就完成的，以后注意点，文章在精而不在多；
• 少抱怨导师叫你干活，虽然我时不时这么干，但我始终相信你所做的在目前看来没啥用处的事情，终会在某一天你会发现它的用处。就拿我来说，导师叫我暑假看看机器学习算法并仿真，结果在这学期的两个选修课的大作业基本上就已经完成了，而且在机器学习的考试中，还考了暑假导师叫我看的SVM。

短期安排

已经到1月16日，离回家恰好还有一个月左右的时间。这一阶段的短期目标：

• 首先，完成The element of style的阅读，并用latex进行排版。也极力推荐大家去读读，特别是准备发表国际论文的同学。第一次接触，还是普哥导师要求他们看的，前几天上宽带无线的时候王玺君老师也提到了这本书。本来我从普哥实验室杂物堆里拿了一本看了一部分，记得封面还印着辟邪剑谱，后来又没看了；
• 其次，是对数值分析和工程优化这两门课的部分算法用程序实现，毕竟学了要会用；
• 最后，就是对已经写好的一些代码进行注释工作，太懒了，拖到现在。

Last but not the least, 每个人都有各自的经历，每个人都是一本书，就看你愿不愿意记录下来。我想，许多年后，自己再来看看在哪一年都干了些啥，那将别是一番感悟。

在《QWT在QtCreator中的安装与使用》一文中，我们完成了QWT的安装，这篇文章我们讲讲基础曲线的绘制功能。

由于导师项目的需要，需要画图，二维+三维。三维图我用的是Qt+opengl，二维图我决定使用qwt工具库来加快我的项目进展，毕竟还有期末考试。关于Qt+opengl的使用有时间的话以后再介绍。

首先我们说说QWT是什么？下面是百度百科的介绍：

QWT，全称是Qt Widgets for Technical Applications，是一个基于LGPL版权协议的开源项目， 可生成各种统计图。它为具有技术专业背景的程序提供GUI组件和一组实用类，其目标是以基于2D方式的窗体部件来显示数据， 数据源以数值，数组或一组浮点数等方式提供， 输出方式可以是Curves（曲线），Slider（滚动条），Dials（圆盘），Compasses（仪表盘）等等。该工具库基于Qt开发，所以也继承了Qt的跨平台特性。

标准正交矩阵

假设矩阵$Q$有列向量$q1, q2,\cdots, q_n$表示，且其列向量满足下式：

$$Q=\left[\begin{array}{cccc}q_1&q_2&\cdots&q_n\end{array}\right]\\ \begin{aligned} q_i^Tq_j=\left\{ \begin{array}{**lr**} 0\quad i\neq j \\ 1\quad i=j \end{array} \right. \end{aligned}$$

则

$$Q^TQ=\left[\begin{array}{c}q_1\\q_2\\\vdots\\q_n\end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc}q_1&q_2&\cdots&q_n\end{array}\right]=I_{n\times n}$$

若$Q$为方阵，由上面的式子则有

$$Q^TQ=I\rightarrow Q^T=Q^{-1}$$

我们举例说明上述概念：

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right], Q^T=\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right]\rightarrow QQ^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=I$$

​ 前一篇文章《正交投影》中我们讲述了正交投影，现在我们来从正交投影的角度来看看我们熟悉的最小二乘法。我记得最早知道最小二乘法是在大一上高数课的时候，我们首先回顾一下什么是最小二乘法。

​ 我们在初中就应该学过投影，那么什么是投影呢？形象点说，就是将你需要投影的东西上的每一点向你要投影的平面作垂线，垂线与平面的交点的集合就是你的投影。注意这里我们的投影是向量的投影，几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。同样的，我们从简单的二维投影来开始讨论。

在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到：

​ 一个秩为$r$，$m\times n$的矩阵$A$中，其行空间和列空间的维数为$r$，零空间和左零空间的维数分别为$n-r$，$m-r$，并且有行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。

​ “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山！”，MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢？我们首先从我们熟悉的正交向量说起。

前面的关于线性代数的文章都是从数学的角度来讲解的，本文将换个角度来讲解问题。导师时常告诉我，凡事都要想想它的物理或实际意义，需要透过现象看本质，这样就能更加深刻的理解，这样就可以看看线性代数有什么实际的用途。