【图解例说机器学习】参数估计 (MLE and MAP)

参数估计：给定一个数据集，我们希望用一个给定的分布去拟合该数据集的分布，确定该分布的参数的过程就是参数估计。例如，我们用二项分布去拟合多次投掷硬币的情况，计算该二项分布的最优参数（出现正面的概率 $\theta$）就是参数估计。

下面，我们介绍在机器学习中常用的参数估计：极大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)，最大后验概率估计 (Maximum A Posteriori, MAP)，贝叶斯估计 (Bayesian Estimation, BE)。在此之前，我们介绍一下参数估计中常用的一些概念.

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• 频率学派 VS. 贝叶斯学派

  • 频率学派：事件本身是服从某种参数$\theta$固定的分布。频率学派认为概率即是频率，某次得到的样本$\mathrm x$只是无数次可能的试验结果的一个具体实现，样本中未出现的结果不是不可能出现，只是这次抽样没有出现而已。在参数估计中，频率学派的代表是最大似然估计 MLE。
  • 贝叶斯学派：参数$\theta$也是随机分布的。贝叶斯学派认为只能依靠得到的样本$\mathrm x$去做推断，而不能考虑那些有可能出现而未出现的结果。同时，贝叶斯学派引入了主观的概念，认为一个事件在发生之前，人们应该对它是有所认知，即先验概率$p(\theta)$，然后根据样本$\mathrm x$ 通过贝叶斯定理来得到后验概率$p(\theta\mid\mathrm x)$。在参数估计中，贝叶斯学派的代表是最大后验概率估计 MAP。

• 概率 VS. 统计

  概率与统计可以看成是互逆的概念。在http://stanford.edu/~lanhuong/refresher/notes/probstat-section3.pdf中对概念与统计推断作了简要概述：

  • The basic problem of probability is: Given the distribution of the data, what are the properties (e.g. its expectation) of the outcomes (i.e. the data)?

  • The basic problem of statistical inference is the inverse of probability: Given the outcomes, what can we say about the process that generated the data?

  对于在机器学习中的常见问题，这里的data就是我们的训练样例，且机器学习的目的就是 say about the process that generated the data, 即学习生成训练样例的模型。

• 似然函数 VS. 概率函数
  似然函数和概率函数的数学表达式一样，只是以不同的角度看待该函数表达式：

  • 若$\theta$已知，$\mathrm x$是变量，$P(\mathrm x\mid\theta)$ 被称为概率函数；
  • 若$\mathrm x$已知，$\theta$是变量，$P(\mathrm x\mid\theta)$ 被称为似然函数；

​ 一般为了保持符号的一致性，似然函数也经常写作$L(\theta\mid\mathrm x)$。

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极大似然估计 (MLE)

最大似然估计MLE的思想是，寻找使得观测到的数据出现概率最大的参数$\theta$。

对于抛硬币来说，在一次抛硬币时，其结果的概率分布如下：

$$\begin{aligned} P(\mathrm x_i\mid\theta)&=\begin{cases} \theta,\quad\quad\hspace{4mm}\mathrm x_i=1\\ 1-\theta,\quad\mathrm x_i=0 \end{cases}\\ &=\theta^{\mathrm x_i}(1-\theta)^{1-\mathrm x_i} \end{aligned}\tag{1}$$

其中$\mathrm x_i=1$表示第$i$抛硬币时正面朝上。那么抛$N$次硬币，其结果为${\mathrm x_1,\mathrm x_2,\cdots,\mathrm x_N}$的概率为

$$P(\mathrm x_1,\mathrm x_2,\cdots,\mathrm x_N\mid\theta)=\prod\limits_{i=1}^{N}\theta^{\mathrm x_i}(1-\theta)^{1-\mathrm x_i}\tag{2}$$

MLE就是寻找最优的$\theta$最大化公式(2)的概率，即求解

$$\theta^\star=\arg\max_{\theta}\prod\limits_{i=1}^{N}\theta^{\mathrm x_i}(1-\theta)^{1-\mathrm x_i}\tag{3}$$

对于优化问题(3)，我们一般考虑将其转为对数目标函数，一方面可以将连乘转化为加和，防止计算溢出；另一方面使得目标函数更加精炼，便于通过求导求解最优解(连乘的导数不易计算)。为此，优化问题(3)可以转化为：

$$\theta^\star=\arg\max_{\theta}\sum\limits_{i=1}^{N}\log{\theta^{\mathrm x_i}(1-\theta)^{1-\mathrm x_i}}=\arg\max_{\theta}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathrm x_i\log{\theta}+(1-\mathrm x_i)\log{(1-\theta)}\tag{4}$$

对(4)的目标函数对$\theta$求导，并令导数为0 (目标函数为凹函数，在导数为0点取得极值)，我们有：

$$\sum\limits_{i=1}^{N}\mathrm x_i\frac{1}{\theta}+(1-\mathrm x_i)\frac{-1}{1-\theta}=0\rightarrow\theta=\frac{\sum\nolimits_{i=1}^{N}\mathrm x_i}{\sum\nolimits_{i=1}^{N}1}\tag{5}$$

公式(5)的结果比较符合直观：比如抛硬币10次，发现5次正面朝上，我们就说出现正面朝上的概率为0.5. 但是，也可能出现7次正面朝上的情况，这时我们说出现正面朝上的概率为0.7，显然这时与实际情况不符合(假定硬币是均匀的)。也就是说，当试验次数较少时，使用最大似然函数时的误差会较大。

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上式(1)-(5)详细推导了离散的二项分布的最大似然估计(5)。对于常用的连续分布正态分布$\mathcal N(\mu,\sigma^2)$，我们只需要将公式(2)中的连乘项改为正态分布的概率密度函数，然后通过对数、求导为零，可以得到其最大似然估计为：

$$\mu=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}x_i\tag{6}$$ $$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}(x_i-\mu^\star)^2\tag{7}$$

其中，我们这里假设总共有$N$个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_N$。

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最大后验概率估计 (MAP)

在最大后验概率MAP中，参数$\theta$被看作为一个随机变量，服从某种概率分布，被称为先验概率$P(\theta)$。

还是以上述抛硬币为例，考虑到先验概率，优化问题(3)被改写为：

$$\theta^\star=\arg\max_{\theta}\prod\limits_{i=1}^{N}\theta^{\mathrm x_i}(1-\theta)^{1-\mathrm x_i}p(\theta)\tag{8}$$

同样地，将公式(8)进行对数化可得：

$$\theta^\star=\arg\max_{\theta}\sum\limits_{i=1}^{N}\log{\theta^{\mathrm x_i}(1-\theta)^{1-\mathrm x_i}}p(\theta)=\arg\max_{\theta}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathrm x_i\log{\theta}+(1-\mathrm x_i)\log{(1-\theta)}+\log p(\theta)\tag{9}$$

一般地，我们假设硬币是均匀地，即$p(\theta=\frac{1}{2})=1$，即此时参数$\theta$时一个固定的未知量。此时，对(8)的目标函数对$\theta$求导，并令导数为0，我们可以得到和公式(5)一样的结果。这说明，当先验分布为均匀分布时，MLE等价于MAP。但是，在最大后验概率中，我们可以假设$\theta$是服从某一概率分布的。这里我们假设$\theta\sim N(\mu,\sigma)$，即

$$p(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\theta-\mu)^2}{2\sigma^2}}\tag{10}$$

将公式(10)带入公式(9)可得：

$$\theta^\star=\arg\max_{\theta}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathrm x_i\log{\theta}+(1-\mathrm x_i)\log{(1-\theta)}+\log{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}}-\frac{(\theta-\mu)^2}{2\sigma^2}\tag{11}$$

注意：由于正态分布的概率密度函数(10)是关于$\theta$ 的凹函数，公式(4)也是凹函数，所以公式(11)中的目标函数也是凹函数，所以我们可以利用导数为0取得最优的参数值$\theta^\star$。但是此时，我们一般无法得到如公式(5)一样简洁的解析表达式。在下面的具体实例中，我们直接给出目标函数的图像，从而可以形象地直接确定其最优解。对于比较复杂的目标函数，我们就需要借助其他迭代算法来求解了。

对于一个具体实例 ($\mu=0.5,\sigma=0.1$，事件$\mathrm x$为10次试验有7次为正面朝上)，此时问题(8)中的目标函数为：

$$P(\theta\mid\mathrm x)=P(\mathrm x\mid\theta)P(\theta)=\theta^7(1-\theta)^3\frac{10}{\sqrt{2\pi}}e^{-50(\theta-0.5)^2}\tag{12}$$

我们可以画出其函数曲线如下：

图1

从图1中可以看出，当我们采用不同的先验概率分布时 ($\mu=0.5,\mu=0.8$)，最终得到的参数也不同 ($\theta^\star=0.56,\theta^\star=0.76$)。在这里，我们假设硬币是均匀的，即正面朝上的概率为$\theta=0.5$，此时与MLE相比 ($\theta=0.7$)，MAP的性能时好时坏，也就是说，MAP的性能与先验概率分布的选取有关。

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等效情况

如前面所提及的，当先验概率为均匀分布时，MLE和MAP等效，因为此时$\theta$服从均匀分布，没有提供有效的关于$\theta$的先验信息。MLE和MAP等效的另一种情况就是：在频率学派所代表的MLE，当观测数据变大时(例子中对应抛硬币次数)，这时观测数据的本身就提供了足够的信息，先验概率的影响变得微不足道，此时MLE和MAP等效，即最终估计的参数值$\theta^\star$相同。如下图2和3，表示了当100次抛硬币70次为正面，和1000次抛硬币700次为正面时，对应的似然函数和后验概率函数：

图2

图3

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附录

下面给出图1-3的python源代码，由于代码简单，所以就没有注释

图1的python源代码：

# -*- encoding: utf-8 -*-
"""
@File    : Parameter_Estimation_fig001.py
@Time    : 2020/5/31 14:46
@Author  : tengweitw
@Email   : tengweitw@foxmail.com
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set the format of labels
def LabelFormat(plt):
    ax = plt.gca()
    plt.tick_params(labelsize=14)
    labels = ax.get_xticklabels() + ax.get_yticklabels()
    [label.set_fontname('Times New Roman') for label in labels]
    font = {'family': 'Times New Roman',
            'weight': 'normal',
            'size': 16,
            }
    return font

sigma=0.1
mu1=0.5
mu2=0.8

theta=np.linspace(0,1,1000)
p_theta_x1=theta**7*(1-theta)**3/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)*np.exp(-np.square(theta-mu1)/2/np.square(sigma))
p_theta_x2=theta**7*(1-theta)**3/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)*np.exp(-np.square(theta-mu2)/2/np.square(sigma))

p_theta_x0=theta**7*(1-theta)**3/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)


p_max_ind0=np.argmax(p_theta_x0)
print(theta[p_max_ind0])

p_max_ind1=np.argmax(p_theta_x1)
print(theta[p_max_ind1])

p_max_ind2=np.argmax(p_theta_x2)
print(theta[p_max_ind2])


plt.figure()
plt.plot(theta,p_theta_x0,'r-')
plt.plot(theta,p_theta_x1,'g-')
plt.plot(theta,p_theta_x2,'b-')

plt.plot([theta[p_max_ind0],theta[p_max_ind0]],[0,p_theta_x0[p_max_ind0]],'r--')
plt.plot([theta[p_max_ind1],theta[p_max_ind1]],[0,p_theta_x1[p_max_ind1]],'g--')
plt.plot([theta[p_max_ind2],theta[p_max_ind2]],[0,p_theta_x2[p_max_ind2]],'b--')


plt.legend(["MLE",r"MAP, $\mu=0.5$",r"MAP, $\mu=0.8$"])

font = LabelFormat(plt)
plt.xlabel(r'$\theta$', font)
plt.ylabel(r'$P(\theta\mid\mathrm{x})$', font)
plt.xlim(0,1)
plt.ylim(0,0.01)
plt.show()

图2-3的python源代码：

# -*- encoding: utf-8 -*-
"""
@File    : Parameter_Estimation_fig002.py
@Time    : 2020/5/31 16:01
@Author  : tengweitw
@Email   : tengweitw@foxmail.com
"""



import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set the format of labels
def LabelFormat(plt):
    ax = plt.gca()
    plt.tick_params(labelsize=14)
    labels = ax.get_xticklabels() + ax.get_yticklabels()
    [label.set_fontname('Times New Roman') for label in labels]
    font = {'family': 'Times New Roman',
            'weight': 'normal',
            'size': 16,
            }
    return font

sigma=0.1
mu1=0.5
mu2=0.8

theta=np.linspace(0,1,1000)
# Here to change 700 300 to 70 30 vice verse
p_theta_x1=theta**70*(1-theta)**30/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)*np.exp(-np.square(theta-mu1)/2/np.square(sigma))
p_theta_x2=theta**70*(1-theta)**30/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)*np.exp(-np.square(theta-mu2)/2/np.square(sigma))
p_theta_x0=theta**70*(1-theta)**30/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)


p_max_ind0=np.argmax(p_theta_x0)
print(theta[p_max_ind0])

p_max_ind1=np.argmax(p_theta_x1)
print(theta[p_max_ind1])

p_max_ind2=np.argmax(p_theta_x2)
print(theta[p_max_ind2])


plt.figure()
plt.plot(theta,p_theta_x0,'r-')
plt.plot(theta,p_theta_x1,'g-')
plt.plot(theta,p_theta_x2,'b-')

plt.plot([theta[p_max_ind0],theta[p_max_ind0]],[0,p_theta_x0[p_max_ind0]],'r--')
plt.plot([theta[p_max_ind1],theta[p_max_ind1]],[0,p_theta_x1[p_max_ind1]],'g--')
plt.plot([theta[p_max_ind2],theta[p_max_ind2]],[0,p_theta_x2[p_max_ind2]],'b--')


plt.legend(["MLE",r"MAP, $\mu=0.5$",r"MAP, $\mu=0.8$"])

font = LabelFormat(plt)
plt.xlabel(r'$\theta$', font)
plt.ylabel(r'$P(\theta\mid\mathrm{x})$', font)
plt.xlim(0,1)
plt.ylim(ymin=0)
plt.show()