【线性代数】线性相关性、基和维数

什么情况下，向量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是线性无关的？

答：当向量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的线性组合(线性组合时系数不能全为 $0$ )不为零向量时，它们是线性无关的。即方程

$[x_1,x_2,\cdots,x_n]x=0$

不存在非零解。

对于一个矩阵 $A$ 来说，当 $A$ 总各列向量是线性无关时，则 $Ax=0$ 的解只有 $0$ 向量，即矩阵 $A$ 的零空间只有零向量。如果各列向量是相关的，则矩阵 $A$ 的零空间中还存在一些其他的向量。

当矩阵 $A$ 各列是线性无关的，则矩阵 $A$ 各列都有主元，自由变量的个数为 $0$ 。

我们知道，矩阵各列的线性组合生成矩阵的列向量。但是，矩阵的各列有可能不是线性相关的。我们关心的是这样的一组向量：既能生成空间，又是线性无关的。这样的向量我们称为空间的基。

如果要确定一个空间，我们只需要知道该空间的基，就了解了该空间的所有信息。例如：在三维空间中，向量的一个基是：

$\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right].$

当然，我们还可以写出其他的基，只需要满足基的两个性质：1、生成空间；2、线性无关。但是基中向量的个数是一样的。对于一个n阶的方阵A的各列想要成为 $n$ 维空间的基的话，该方阵必须是可逆的。

维数的定义：空间内任意基内向量个数称为空间的维数。

空间内所有的基内向量个数是相同的，都指空间的维数。

下面我们来举例说明上述概念：假设矩阵为 $A$ :

$A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{array}\right]$

矩阵 $A$ 的各列生成矩阵 $A$ 的列空间。

矩阵 $A$ 的各列不是 $A$ 的列空间的基，因为它们线性相关，列空间的一个基是矩阵的第一、二列。

我们可以通过消元知道，该矩阵的秩为 $2$ ，该列空间的维数为 $2$ 。即矩阵的秩是列空间的维数！