线性相关性
什么情况下，向量$x_1,x_2,\cdots,x_n$是线性无关的？
答：当向量$x_1,x_2,\cdots,x_n$的线性组合(线性组合时系数不能全为$0$)不为零向量时，它们是线性无关的。即方程
不存在非零解。
对于一个矩阵$A$来说，当$A$总各列向量是线性无关时，则$Ax=0$的解只有$0$向量，即矩阵$A$的零空间只有零向量。 如果各列向量是相关的，则矩阵$A$的零空间中还存在一些其他的向量。
当矩阵$A$各列是线性无关的，则矩阵$A$各列都有主元，自由变量的个数为$0$。
空间的基
我们知道，矩阵各列的线性组合生成矩阵的列向量。但是，矩阵的各列有可能不是线性相关的。我们关心的是这样的一组向量：既能生成空间，又是线性无关的。这样的向量我们称为空间的基。
如果要确定一个空间，我们只需要知道该空间的基，就了解了该空间的所有信息。例如：在三维空间中，向量的一个基是：
当然，我们还可以写出其他的基，只需要满足基的两个性质：1、生成空间；2、线性无关。但是基中向量的个数是一样的。对于一个n阶的方阵A的各列想要成为$n$维空间的基的话，该方阵必须是可逆的。
空间的维数
维数的定义：空间内任意基内向量个数称为空间的维数。
空间内所有的基内向量个数是相同的，都指空间的维数。
下面我们来举例说明上述概念：假设矩阵为$A$:
矩阵$A$的各列生成矩阵$A$的列空间。
矩阵$A$的各列不是$A$的列空间的基，因为它们线性相关，列空间的一个基是矩阵的第一、二列。
我们可以通过消元知道，该矩阵的秩为$2$，该列空间的维数为$2$。即矩阵的秩是列空间的维数！
