【线性代数】向量空间

对称矩阵

假设有一矩阵$A$，其中$A{ij}=A{ji}$,则称这个矩阵为对称矩阵。

对称矩阵有如下性质：

$$A^{T}=A^{-1}$$ $$A=RR^{T}\leftarrow(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR$$

也就是说：1、一个对称矩阵的转置和其逆是相等的；2、一个对称矩阵可以由一个矩阵和其转置矩阵相乘得到。

---

向量空间

向量空间即空间中向量的四则运算得到的向量人在空间中。

1、二维情况下，其子空间有

a、零向量(0,0)

b、过零点的直线

c、$\mathbb R^2$整个空间

2、三维情况下，其子空间有

a、零向量(0,0,0)

b、过（0,0,0）的平面

c、过(0,0,0)的直线

d、$\mathbb R^3$整个空间

---

列空间

假设有一个矩阵$A$：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1&3\\2&3\\4&1\end{array}\right]$$

则$A$的列空间为$A$中各列向量的线性组合。

问题一：对于任意的$b,Ax=b$是否有解？

答：不一定，$3$个列向量的线性组合不能充满四维空间

问题二：对怎样的$b$，$Ax=b$有解？

答：当$b$属于$A$中列向量的线性组合，即$b$属于$A$的列空间

零空间

假设有一个矩阵$A$：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{array}\right]$$

则$A$的零空间就是使得$Ax=0$的解的集合。由于$A$比较特殊（第一列+第二列=第三列），我们可以直接给出下式：

$$\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}C\\C\\-C\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]$$

则零空间为：

$$X=C\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right]$$