一、高斯消元法
能使用消元法的情况：每次消元过程中，对角线元素始终不能为0，即矩阵可逆
我们一般利用高斯消元法进行矩阵的消元。下面我们通过举例说明：
如果按照我们初中所学的解法，一般是先用第三个方程将$z$用$y$表示，然后代入到第二个方程就可以用$x$来表示$y$和$z$，最后代入第一个方程就可以求得$x,y,z$。这个算法的核心就是消元！下面我们看看矩阵形式的消元法。
首先将上面的三元一次方程组表示为矩阵形式为：
为了方便，我们将等式右边的向量放到左边，构成增广矩阵（可以百度看看什么是增广矩阵）。下面是消元的具体步骤：
其中，上图中的第一个矩阵就是所说的增广矩阵，我们记作$A$，经过步骤$E{21}$得到的矩阵为$B$，经过步骤$E{32}$得到的矩阵为$C$。
步骤$E{21}$的目的是$A{21}=0$，这里是指用第二行减去第一行的三倍
步骤$E{32}$的目的是使$A{32}=0$，这里是指用第三行减去第二行的两倍
注：高斯消元的目的是使原矩阵(不要考虑最后一列，这一列是等式右边的，matlab是分别对左右两边进行消元的，我这里写在一起是为了方便)对角线下面的元素为0，变成上三角矩阵，在上面例子中本应该在步骤$E{21}$和步骤$E{32}$中还有步骤$E{31}$,使得$A{31}=0$。但是原矩阵的$A_{31}=0$，所以没有必要进行操作。尽管这一步骤没有必要，但matlab会进行操作（没有人机智）。
通过消元得到的结果矩阵$C$（上图中的第三个矩阵），我们可以写出其方程组的形式：
上面方程组可以直接看出，$z=-2$,然后代入第二个方程得到$y=1$,再代入第一个方程得到$x=2$。
在上面的消元过程中，原始矩阵$A$经过步骤$E{21}$得到矩阵$B$，矩阵$B$经过步骤$E{32}$得到矩阵$C$，我们用矩阵来表示步骤$E{21}$，步骤$E{32}$，则可以得到：
把这两步综合起来得到：
总结，我们令方程组左边的矩阵为$D$，用初等矩阵$E$来表示消元操作，用上三角矩阵$U$表示消元得到的结果，则以上式为例：
置换矩阵
1、行交换：左乘
2、列交换：右乘
