【线性代数】矩阵的四个基本子空间

零空间

矩阵$A$的零空间就$Ax=0$的解的集合。假设矩阵的秩为$r$，矩阵为$m\times n$的矩阵，则零空间的维数为$n-r$。因为秩为$r$，则自由变量的个数为$n-r$，有几个自由变量，零空间就可以表示层几个特解的线性组合，也即是零空间的维数为自由变量的个数。

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列空间

矩阵$A$的列空间就是矩阵$A$中各列的线性组合。假设矩阵的秩为$r$，矩阵为$m\times n$的矩阵，则列空间可以表示为$r$个主元的线性组合，即列空间的维数为$r$。

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行空间

在线性代数中，我们一般习惯将矩阵看出是一组列向量的组合，matlab中矩阵的存储是按列存储的(c中不是)。因此，我们可以将矩阵$A$进行转置后来讨论行空间和左零空间。假设转置后的矩阵为$A^T$，则$A$的行空间就是$A^T$的列空间，$A$的左零空间为$A^T$的零空间。注意这里$A^T$为$n\times m$的矩阵，则此时行空间的维数为$r$。

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左零空间

左零空间是$A^Tx=0$的解的集合。由于秩为$r$，则自由变量的个数为$m-r$，即左零空间的维数为$m-r$。

上面都是一些定理结果，下面来举例说明上述定理：

假设矩阵为$A$:

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{array}\right]$$

经过高斯消元得到行最简式$R$:

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{array}\right]\rightarrow R=\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$$

于是我们知道矩阵$A$的秩为$2$，则其列空间，行空间的维数都是$2$，零空间的维数为$4-2=2$，左零空间的维数为$3-2=1$。

很明显，矩阵$A$的列中，前两列是线性无关的，则其列空间可以由前两列来表示。同理，前两行是线性无关的，其行空间可以有前两行来表示。由于只有两个主元，则自由变量个数为$4-2=2$，所以零空间的特解有两个，零空间可以由这两个特解的线性组合来表示。由于左零空间可以看成是$A^Tx=0$的线性组合，则有：

$$A^Tx=0\rightarrow (A^Tx)^T=0^T\rightarrow x^TA=0$$

我们知道初等行变换不改变矩阵的行空间，但可能改变其列空间(因为行变换是行向量的线性组合)，并且消元过程可以表示如下：

$$\begin{aligned} EA&=R\rightarrow \underbrace{\left[\begin{array}{ccc}-1&2&0\\1&-1&0\\-1&0&1\end{array}\right]}_{E} \underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{array}\right]}_{A} =\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}_{R} \end{aligned}$$

我们可以看出，初等矩阵$E$的第三行与$A$相乘得到的是$0$向量即：

$$\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\end{array}\right]$$

对比下式：

$$x^TA=0$$

可以求得$x$的值：

$$x=\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$

这个$x$就是左零空间的基，因此左零空间的维数为$3-2=1$。